Como consecuencia directa de este teorema se tiene el
siguiente
El teorema anterior nos dice que toda
sobreyección de un conjunto en sí mismo es una
biyección. En el capítulo 7 se verá
porqué esto no es así en funciones con el
continuo. Sin embargo, todo lo anterior es cierto para todos los
conjuntos
discretos o continuos siempre que sus elementos tengan (o se les
asigne) una existencia real (ver teorema 1.12).
El teorema anterior nos asegura que nunca
existirá una sobreyección de A hacia B si A es un
subconjunto propio de B. Por lo tanto, tampoco podrá
existir una biyección ni de A hacia B, ni de B hacia A. En
consecuencia, la mal llamada biyección entre N y Z no es
tal.
Esta función
así definida es la pretendida biyección entre N y Z
con la cual se asegura que estos conjuntos tienen igual
cardinalidad. Ahora bien, el teorema 1.9 nos asegura que entre N
y Z no puede existir ninguna biyección. Como esta
función es inyectiva, entonces dicha función no es
sobreyectiva.
Analicemos la no sobreyectividad para el caso n impar en
la tabla que sigue:
En la tabla anterior se tiene a las preimágenes
en la parte superior y a sus imágenes
en la parte inferior. Veamos lo que sucede si truncamos el
proceso en un
determinado n de I. Si truncamos el proceso en el 5 de I, notamos
que el 5 también está en Z*+, por lo que el 4 y el
5 no tienen contraimagen.
Otra forma de disponer la tabla anterior es la
siguiente:
Propiedad de
Dilatación o Contracción de los Puntos
Sabemos que el punto carece de existencia real, es
decir, así como el universo nace
de la nada, también la Geometría
nace de la nada. Por esta razón, los puntos poseen unas
propiedades que no se pueden notar cuando las ponen en
práctica. A estas propiedades se les llamará
propiedad de contracción y
propiedad de dilatación y consisten en
que, los infinitos puntos que están en un segmento
cualquiera, pueden entrar todos (en sentido figurado) en otro
segmento de mayor o menor longitud, dilatándose o
contrayéndose respectivamente. Sin embargo, es un error
afirmar que dos segmentos cualesquiera poseen la misma cantidad
de puntos, tomados dichos puntos como entes con existencia real,
si dichos segmentos posen longitudes distintas. Veamos la
demostración de esto.
Veamos ahora el serio problema en el cual nos meten las
propiedades de contracción y dilatación de los
puntos.
1.3.2 La Unidad a Diferentes Escalas
Sean dos segmentos paralelos de diferentes longitudes y
representando ambos a la unidad (fig. 1.2), a los cuales
llamaremos menor (segmento de color verde) y
mayor (de color rojo).
Como ambos representan a la unidad (en diferentes
escalas), cometemos el error de decir que ambos contienen la
misma cantidad de puntos, es decir, que como conjuntos de puntos
son equipotentes. Pero el teorema anterior nos dice que ello no
es así. De manera que algo anda mal en nuestra forma de
ver la realidad.
La pregunta es ¿qué es lo que realmente
sucede? La respuesta es "la propiedad que
tienen los puntos geométricos de dilatarse y
contraerse".
1.3.2.1 Biyección
Geométrica
Es la biyección galileana (en honor
a Galileo quien fue el primero en observar esto) que existe entre
los conjuntos de puntos geométricos. Ejemplo de ello es la
biyección entre menor y mayor dada a
partir de P del apartado anterior. Obsérvese que si
acercamos P hacia menor, mayor aumenta de
longitud, es decir, los puntos imágenes de menor
se dilatan en una proporción mayor. Si, por el contrario,
lo alejamos, mayor disminuye. Es decir, los puntos
imágenes de menor sufren una dilatación en
menor proporción.
1.3.2.2 Biyección
Algebraica
Es la biyección cantoriana (en honor
a Cantor, padre de la teoría
de conjuntos) que existe entre conjuntos cuyos elementos tienen
(o se les asigna) una existencia real. Ejemplo de ellos son las
biyecciones entre conjuntos numéricos.
Para concluir este capítulo se debe
decir que el gran geómetra Euclides de Alejandría
sí tuvo razón al postular que "El todo es mayor que
cualquiera de sus partes". Y ha sido la teoría de Cantor
la que nos ha permitido deducir este hecho.
Autor:
Dimas Herrera
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